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Benvenuto nella mia pagina! Studio matematica all'università di Pisa. Mi piace risolvere problemi spastici di ogni sorta, soprattuto quelli di Algebra!
Pagina in allestimento; In realtà è già a buon punto.
Tutorato Algebra1
Orari del tutorato per gli ultimi incontri:
- Giovedì 06/06/19: ore 16.00 - 18.00 (Aula L - Polo Fibonacci)
- Martedì 11/06/19: ore 14.00 - 16.00 (Aula Riunioni - Dipartimento di Matematica)
- Giovedì 13/06/19: ore 14.00 - 16.00 (Aula Riunioni - Dipartimento di Matematica)
Qua sotto sono linkati i PDF delle lezioni e relativi esercizi; potrebbero esserci delle sviste: segnalatemi qualsiasi cosa. Non metterò le soluzioni dei problemi fino a che non li risolveremo in classe. Un ottimo allenamento potrebbe essere quello di svolgerli e di esercitarsi e scrivere formalmente le soluzioni; chiunque voglia potrà poi consegnarmeli per avere un riscontro sul proprio lavoro.
Sto indicizzando il materiale secondo la lezione in cui lo svolgiamo, ma forse non ha molto senso; mi riservo di fare un cambio di indicizzazione.
- Lezione 1 - 13/03/19: Automorfismi e automorfismi interni; fatti utili sul quoziente G/Z(G).
Azione, bigezione orb(x) e laterali G/stab(x), formula delle orbite. Teorema di Cayley.
Note 1.
Esercizi 1. - Lezione 2 - 20/03/19: Azioni famose: conseguenze importanti (sembra il titolo di un film).
Note 2.
Esercizi 2. - Lezione 3 - 22/03/19: Correzione esercizi lasciati. Controllate di saper fare l'esercizio 15 sulla corrispondenza.
Anche dopo che lo avremmo visto vi consiglio di prendervi un attimo di tempo per ripensarci da soli
- Lezione 4 - 27/03/19: Il gruppo simmettrico e il gruppo alterno; insiemi di generatori. Centralizzatore e normalizzatore.
Teorema N/C e applicazione nel caso di una permutazione di Sn. Immersione del diedrale in Sn. Fatti utili su Sn e An.
Note 4.
Esercizi 4. - Lezione 5 - 29/03/19: Prodotto semidiretto, fatti utili. Centralizzatore come prodotto semidiretto.
Utile trucco per trovare elementi nel centro di un prodotto semidiretto. Capire se due prodotti semidiretti sono isomorfi. Esempi concreti.
Note 5.
Esercizi 5. - Lezione 6 - 03/04/19: Correzione esercizi lasciati con particolare attenzione a quelli relativi al gruppo simmetrico. Costruzione esplicita del 2-Sylow di S_n con tecnica ricorsiva: osservaione del fatto che il 2-Sylow di S_n è prodotto diretto dei gruppi ricorsivi costruiti indicizzati sulla scrittura in base 2 del numero. Ho deciso di non mettere le soluzioni almeno per ora.
- Lezione 7 - 05/04/19: Correzione esercizi lasciati con particolare attenzione a quelli relativi ai prodotti semidiretti. Primi richiami sui teoremi di Sylow. Come sopra preferisco non mettere le soluzioni per il momento.
- Lezione 8 - 08/04/19: Teoremi di Sylow: enunciati e commenti generali. Teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati.
Esercizi vari sull'argomento: idee chiave per il calcolo nel numero di automorfismi di un gruppo abeliano finito.
Note 8.
Esercizi 8. - Lezione 9 - 03/05/19: Anelli, prime definizioni e proprietà di base. Operazioni con gli ideali, ideali primi e massimali.
Teorema del resto cinese per anelli e qualche proprietà. Esercizi e qualche trucco spastico tipico degli anelli.
Note 9.
Esercizi 9. - Lezione 10 - 07/05/19: Localizzazione e proprietà. Osservazioni e caratterizzazione degli ideali dell'anello localizzato.
Anelli speciali, implicazioni e non implicazioni. Qualche proprietà utile. Esercizi al riguardo e qualche fatterello comodo.
Note 10.
Esercizi 10. - Lezione 11 - 10/05/19: Ancora sugli anelli speciali. Qualche altra proprietà utile. L'anello degli interi di Gauss.
Esercizi vari sugli anelli e altri trucchi.
Note 11.
Esercizi 11. - Lezione 12 - 15/05/19: Correzione esercizi lasciati. Come sopra preferisco non mettere le soluzioni per il momento.
- Lezione 13 - 17/05/19: Campi; prime definizioni, qualche proprietà sulle estensioni di campi. Estensioni normali e prima definizione
del gruppo di Galois. Qualche esercizio.
Note 13.
Esercizi 13. - Lezione 14 - 22/05/19: Campi; Gruppo di Galois, teorema dell'elemento primitivo. Corrispondenza di Galois e Shift delle
estensioni. Radici primitive e qualche esempio. Esercizi standard di conto.
Note 14.
Esercizi 14. - Lezione 15 - 24/05/19: Risoluzione degli esercizi lasciati. Qualche trucco per il calcolo veloce del gruppo di Galois
grazie al teorema di corrispondenza e qualche esercizio un po' più teorico. Come al solito, soluzioni non in rete.
- Lezione 16 - 29/05/19: Qualche fatto sulle estensioni ciclotomiche e conclusione ripasso campi. Richiamo sui gruppi;
il sottogruppo derivato e le sue proprietà principali. Esercizi di riepilogo sui campi.
Note 16.
Esercizi 16. - Lezione 17 - 04/06/19: Esercitazione in preparazione allo scritto.
Esercitazione 1.
- Lezione 18 - 06/06/19: Correzione prima esercitazione. L'ultimo punto dell'esercizio 3 era più difficile del previsto.
Queste sono le soluzioni viste in classe.
- Lezione 19 - 11/06/19: Esercitazione in preparazione allo scritto.
Esercitazione 2.
- Lezione 20 - 13/06/19: Correzione seconda esercitazione. Il primo esercizio era il più impegnativo.
Queste sono le soluzioni viste in classe: al suo interno trovate anche quel sintetico
appunto sulla costruzione induttiva del 2-Sylow di Sn.