Domande orali Algebra 2

$f:A^m\to A^n$ , cosa possiamo dire su $m,n$?
Quando $\text{Supp}(M)$ è vuoto? Uno tra $\text{Supp}(M)$, $\text{Supp}(N)$ vuoto implica $\text{Supp}(M\otimes N)$ vuoto.
$\mathbb{K}[x_2,x_4,…]\to\mathbb{K}[x_1,…,x_n]$, come trovo gli ideali contratti?

Impostare il discorso sul teorema di struttura sui PID, e unicità.
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ come $\mathbb{Z}$-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
C’è unicità nella decomposizione in irriducibili?

Relazioni fra dimensione di krull di $A/I$ e di $A/\sqrt{I}$
Se $A=\mathbb{K}[x_1,…,x_n]$ che relazione c’è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
Decomposizione primaria
Chi è il prodotto tensoriale di $A/I$ e $A/J$
Trovare un anello con esattamente $n$ ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
Che relazioni ci sono fra Noetheriano e UFD?

Ideali di $S^{-1}A$, corrispondenze, e qualche relazione.
Studiare un po’ $\mathbb{Q}[x]$ localizzato in $S=1+J$ con $J =(x^3-1)$.
Teorema della base di Hilbert, dimostrazione che ogni base di Gröbner genera, e lemma di Dickson.
Sia $I$ ideale di $\mathbb{K}[x_1…x_n]$ e consideriamo l’insieme degli ideali $Lm(I)$ al variare degli ordinamenti monomiali. Tale insieme è finito?

Esercizio 2.2 del compito
Ideali monomiali: definizione, un polinomio gli appartiene se e solo se ogni suo termine gli appartiene, tappe per mostrare che ogni ideale monomiale è finitamente generato (senza dimostrazione)
$S = { p \in \mathbb{K}[x,y]/(x^2) :~p = a(y)+b(y)x,~a(y) \neq 0}$ è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia $S^{-1}A$, con $A=\mathbb{K}[x,y]/(x^2)$
Definizione sottomodulo di torsione

Prodotto tensoriale, definizione e costruzione
Moduli proiettivi, definizioni equivalenti.
Essere proiettivi è una proprietà locale?
Dati $A=\mathbb{C}[x,y,z]$ ed $I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4)$, dire più proprietà interessanti possibili di $A/I$, anche passando per la varietà associata ad $I$. Trovare il radicale di $I$, parlare di dimensione di $A/I$ e di $A/\sqrt{I}$, di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. $A/I$ è noetheriano o artiniano?

Omomorfismo canonico $\sigma_S : A->S^{-1}A$, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando $f:A\to B$ si estende a un isomorfismo $S^{-1}A\to B$.
Dati $A=\mathbb{Z}/(60)$ e $\mathfrak{p}=(5)$, descrivere $A_\mathfrak{p}$. Se $A$ è finito, mostrare che $\sigma_S$ è surgettivo.

Anello artiniano, enunciare definizione e proprietà a piacimento. Esempi di anelli artianiani.
Parlare di basi di Groebner, ideali monomiali e cose varie sui Leading Term Ideals.
Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari $A$ PID e $A$ locale.

Dati, $A=\mathbb{Q}[x,y,z]$, $f\in A$, $S=1+(f)$, studiare $S^{-1}A$.
Estensione e contrazione di ideali rispetto la localizzazione.
Decomposizione primaria: esistenza.
Anello noetheriano non UFD. Relazioni fra noetheriano e UFD(1/2).
Data $f:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $f(x,y)=xy$ sull’anello $A$, sia $\overline{f} : \mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} \to \mathbb{C}$; trovare $\ker(f)$ ed $\operatorname{Im}(f)$.

Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare $(\mathbb{Z}/(q^n))_{(p)}$, con p,q primi.
Elencare tutte le proprietà di $\mathbb{Z}/(p^n)$ come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
Data l’immersione di $\mathbb{K}[x_1,x_3,x_5]$ in $\mathbb{K}[x_1,x_2,…,x_6]$, studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
Dimostrare il teorema di eliminazione delle variabili.
Relazione fra elementi/ideali primi ed irriducibili su anelli di polinomi.
Data una base di Grobner ridotta composta da polinomi irriducibili, l’ideale associato è primo?